Fiche de révision · Philosophie Terminale · hors programme
La démonstration
Peut-on tout démontrer ?
Définition et enjeux
Approfondir la notion
Les auteurs à connaître sur la démonstration
Aristote
Seconds Analytiques, I, 2-3
Savoir au sens fort, c'est connaître la cause, et cela se fait par démonstration : un syllogisme qui part de prémisses vraies, premières, immédiates, plus connues que la conclusion. Mais ces premiers principes ne peuvent être démontrés, sous peine de remonter à l'infini : ils sont saisis autrement, par l'intellect. Tout n'est pas démontrable, et c'est la condition même de la démonstration.
En substance : Il ne peut y avoir démonstration de tout : on irait à l'infini (Seconds Analytiques, I, 3, reformulé)
Descartes
Discours de la méthode, II (1637)
Les mathématiques sont les seules sciences où l'on trouve des démonstrations certaines. Descartes en tire une méthode pour toute connaissance : ne recevoir pour vrai que l'évident, diviser les difficultés, conduire par ordre ses pensées des plus simples aux plus composées, tout dénombrer. Rien n'est si éloigné qu'on ne puisse y parvenir si l'on garde l'ordre des déductions.
« Ces longues chaînes de raisons, toutes simples et faciles, dont les géomètres ont coutume de se servir » (Discours de la méthode, II)
Pascal
De l'esprit géométrique (vers 1657)
La méthode parfaite consisterait à tout définir et tout démontrer : elle est impossible. En remontant, on arrive à des mots primitifs (espace, temps, mouvement, nombre) et à des principes qu'on ne peut prouver, mais si clairs qu'il n'en est pas de plus clairs. La géométrie ne définit ni ne prouve tout ; elle ne suppose que des choses claires par la lumière naturelle.
« en poussant les recherches de plus en plus, on arrive nécessairement à des mots primitifs qu'on ne peut plus définir, et à des principes si clairs qu'on n'en trouve plus qui le soient davantage pour servir à leur preuve » (De l'esprit géométrique)
Leibniz
Monadologie, § 31-36 (1714)
Deux principes gouvernent nos raisonnements : le principe de contradiction et celui de raison suffisante. D'où deux sortes de vérités : les vérités de raison, nécessaires, dont on trouve la raison par l'analyse jusqu'aux idées primitives ; les vérités de fait, contingentes, dont la raison existe mais nous échappe souvent (pourquoi ce monde-ci plutôt qu'un autre).
« Il y a deux sortes de vérités, celles de raisonnement et celles de fait » (Monadologie, § 33)
Kant
Critique de la raison pure, « Discipline de la raison pure » (1781)
Le mathématicien démontre parce qu'il construit ses concepts dans l'intuition : il trace le triangle et y lit des propriétés nécessaires. Ses jugements sont à la fois universels et nouveaux (synthétiques a priori). La philosophie, qui ne travaille que sur des concepts, ne peut imiter cette méthode : vouloir y démontrer comme en géométrie ne produit que des châteaux de cartes.
En substance : La connaissance mathématique procède par construction des concepts (Discipline de la raison pure, reformulé)
Popper
La Logique de la découverte scientifique (1934)
Aucune accumulation d'observations ne démontre une loi universelle : on ne vérifie jamais que tous les cygnes sont blancs, on peut seulement le réfuter en trouvant un cygne noir. Les sciences de la nature ne démontrent pas leurs théories : elles les conjecturent et les mettent à l'épreuve. Est scientifique une théorie qui peut être réfutée par l'expérience.
En substance : On ne vérifie jamais une loi universelle ; on peut seulement la réfuter (reformulé)
Textes et arguments clés
Pascal — La méthode parfaite est impossible (De l'esprit géométrique, vers 1657)
« Cette véritable méthode, qui formerait les démonstrations dans la plus haute excellence, s'il était possible d'y arriver, consisterait en deux choses principales : l'une, de n'employer aucun terme dont on n'eût auparavant expliqué nettement le sens ; l'autre, de n'avancer jamais aucune proposition qu'on ne démontrât par des vérités déjà connues. » Texte de Wikisource. Pascal montre aussitôt que cette méthode est impossible : définir suppose d'autres mots, prouver d'autres vérités, à l'infini. Il faut donc s'arrêter à des termes primitifs et à des principes évidents, que la géométrie suppose sans les démontrer.
Concepts
- Falsifiabilité (réfutabilité) (Popper)
- Critère de scientificité chez Popper : une théorie est scientifique non parce qu'elle est vérifiable , mais parce qu'elle est réfutable — elle interdit certains faits et s'expose donc à un test qui pourrait la démentir. Une thèse qu'aucune observation ne pourrait contredire (qu'on « immunise ») n'est pas scientifique : c'est le reproche que Popper adresse à la psychanalyse et au marxisme. La…
- Syllogisme (Aristote)
- Raisonnement déductif formalisé par Aristote : « un discours dans lequel, certaines choses étant posées, une autre en résulte nécessairement ». Ex. « Tout homme est mortel ; or Socrate est un homme ; donc Socrate est mortel. » Il est démonstratif si ses prémisses sont vraies et premières, dialectique si elles sont seulement probables, éristique si elles ne le paraissent qu'en apparence.
- Principe de non-contradiction (Aristote)
- Principe fondamental de la logique (Aristote, Métaphysique , livre Γ) : il est impossible que le même attribut appartienne et n'appartienne pas en même temps au même sujet et sous le même rapport . Formalisé : ¬(A ∧ ¬A). Principe « le plus ferme de toute démonstration » selon Aristote — celui qu'on ne peut pas refuser sans le présupposer (qui dit « il y a contradiction » s'appuie sur lui).…
- Axiome
- Proposition admise sans démonstration, qui sert de point de départ à une théorie déductive. Longtemps tenu pour une vérité évidente par elle-même (Euclide, Aristote), l'axiome est devenu depuis les géométries non euclidiennes une hypothèse de départ choisie, dont on demande surtout qu'elle soit cohérente avec les autres. Ex. « Le tout est plus grand que la partie » (une des notions communes…
- Vérités de raison et vérités de fait (Leibniz)
- Distinction de Leibniz ( Monadologie , § 33) : les vérités de raison sont nécessaires, leur contraire est impossible, et elles se démontrent par l'analyse, jusqu'à des identités ; les vérités de fait sont contingentes, leur contraire est possible, et nous ne pouvons pas toujours en atteindre la raison. Ex. « Un triangle a trois côtés » est une vérité de raison ; « César a franchi le Rubicon » est…
Plans de dissertation
Peut-on tout démontrer ?
Problématique : Si la démonstration donne la seule certitude parfaite, il faudrait tout démontrer. Mais toute démonstration ne repose-t-elle pas sur quelque chose qu'on ne démontre pas ? Et une connaissance non démontrée est-elle pour autant sans valeur ?
- La démonstration est le modèle de la connaissance certaine
Les longues chaînes de raisons (Descartes). Partir de l'évident et déduire par ordre : rien n'est si éloigné qu'on ne puisse y parvenir. (Descartes, Discours de la méthode, II)
Les vérités de raison (Leibniz). Les vérités nécessaires se démontrent par l'analyse, jusqu'aux idées primitives. (Leibniz, Monadologie, § 33)
- Mais toute démonstration repose sur de l'indémontrable
Les premiers principes (Aristote). Démontrer les principes mènerait à l'infini : ils sont connus autrement que par démonstration. (Aristote, Seconds Analytiques, I, 3)
Les mots primitifs (Pascal). Tout définir et tout prouver est impossible ; la géométrie suppose des termes et des principes clairs par la lumière naturelle. (Pascal, De l'esprit géométrique)
- Une grande part du savoir ne se démontre pas : elle s'éprouve
Conjectures et réfutations (Popper). Les sciences de la nature ne démontrent pas leurs lois : elles les mettent à l'épreuve et peuvent seulement les réfuter. (Popper, La Logique de la découverte scientifique)
Les limites de la méthode mathématique (Kant). La philosophie ne peut démontrer comme la géométrie ; elle doit examiner ses concepts et les limites de la raison. (Kant, Critique de la raison pure, Discipline de la raison pure)
Sujets de dissertation
Pour s’entraîner
- Peut-on tout démontrer ?
- Une démonstration peut-elle être fausse ?
- La démonstration est-elle le seul chemin vers la vérité ?
- Démontrer, est-ce convaincre ?
Exemples pour illustrer
Le cinquième postulat d'Euclide Mathématiques
Par un point extérieur à une droite passe une seule parallèle : pendant des siècles, des mathématiciens ont tenté de démontrer ce postulat à partir des autres. Au XIXe siècle, Lobatchevski puis Riemann construisent des géométries cohérentes qui le nient. Un axiome n'est donc pas une évidence absolue, mais un point de départ.
→ Science, Vérité
Le théorème des quatre couleurs (1976) Mathématiques
Toute carte peut être coloriée avec quatre couleurs sans que deux pays voisins aient la même. Appel et Haken le démontrent en 1976 avec l'aide d'un ordinateur, qui examine des centaines de cas. Débat : une démonstration qu'aucun humain ne peut vérifier entièrement à la main en est-elle une ? Aujourd'hui, des logiciels vérifient formellement de telles démonstrations.
→ Technique, Raison
Accroches d’introduction
- Pourquoi 2 + 2 = 4 ? Et comment le prouver à quelqu'un qui en douterait vraiment ?